Парадокс Ришара-Берри

В математике множество является неопределяемым понятием (о чём ещё будет как-нибудь позже). При этом во многих курсах — особенно рассчитанных на общетехнические специальности и гуманитариев — можно встретить оптимистические утверждения вида “хотя мы не можем определить понятие множества, мы можем, опираясь на интуицию, с лёгкостью определять любое конкретное множество его описанием…”

Подобные взгляды характерны для так называемой наивной теории множеств второй половины XIX века. В 1906 году французский математик Жюль Ришáр (1862 — 1956) предложил парадокс, показывающий, что не всё так просто. В исходном виде его формулировка требует достаточно близкого знакомства с теорией, поэтому рассмотрим немного упрощённую — так называемую формулировку Ришара-Берри.

Единица

Известно, что разные курсы и разные преподаватели по-разному трактуют множество натуральных чисел. Где-то утверждается, что оно начинается с единицы, где-то его отсчитывают с нуля.

На то и другое есть свои резоны. В преподавании классического анализа удобнее считать с единицы (тогда во многих ситуациях без всяких оговорок оказывается невозможным деление на ноль), алгебраистам же удобнее с нулём — тогда натуральные числа образуют полугруппу как относительно сложения, так и относительно умножения (правда, единичными элементами для этих операций будут выступать разные числа).

На сáмом деле вопрос о вхождении или невхождении нуля в натуральные числа совершенно непринципиален: легко показывается, что два соответствующих множества эквивалентны между собой. Гораздо интереснее другое: чрезвычайно долго натуральным числом (и числом вообще!) не считалась единица!

Аксиома выбора и вредный Дед Мороз

На рубеже XIX и XX веков в математике случился кризис, связанный с накоплением сверх критической массы интуитивных понятий и необоснованных аналогий. Преодоление этого кризиса связывали с аксиоматизацией науки, начиная с самых низов. А в сáмом низу находилась как раз построенная к тому моменту канторовская теория множеств. Правда, очень быстро выяснилось, что и тут не обходится без двусмысленностей, и одним из главнейших камней преткновения стала так называемая аксиома выбора.

Это очень интересная проблема. Понять её способен даже школьник средних классов, а вынести мозги она способна кому угодно.

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, дополнение

В трактатах Омара Хайяма нашёлся ещё один интересный способ решения уравнения типа “квадрат и число сопоставлены корням”. Интересен он тем, что из него геометрически сразу же видна часть теоремы Виета. Стоит рассмотреть!

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, часть 3

Заканчиваем тему. Осталось рассмотреть один, самый сложный тип — в отличие от всех предыдущих случаев, здесь возможны ситуации, когда имеется два положительных вещественных решения или их нет вовсе. По-прежнему требуется геометрическое извлечение квадратного корня (см. ранее описанный тип уравнения “квадрат сопоставлен числу”).

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, часть 2

Продолжаем тему, начатую ранее. В этой части будут рассмотрены более сложные типы уравнений “квадрат сопоставлен корням и числу” и “квадрат и корни сопоставлены числу”. В обоих случаях уравнение имеет единственное положительное решение. Оба случая требуют геометрического построения квадратного корня (см. ранее описанный тип уравнения “квадрат сопоставлен числу”).

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, часть 1

Древнегреческая математика была геометрической, и знаменитое “…при помощи циркуля и линейки” много раз слышал каждый. Такие построения позволяют сделать довольно многое: циркулем и линейкой можно выполнять четыре арифметические действия, а также извлекать квадратный корень. Это означает, что геометрическими построениями можно решать квадратные уравнения.

Действительно, греки это умели. Правда, они не знали отрицательных решений, так как числа представляются при этом длинами отрезков. Но найти в современной литературе греческие способы почему-то практически нереально — между тем, они являются прекрасными задачами на доказательство, великолепно подходящими для занятий со школьниками. Попробуем восполнить этот пробел.

Водочные тождества

Деньги, как известно, выполняют функцию всеобщего эквивалента. А ещё они счёт любят. А на территории бывшего СССР функцию всеобщего эквивалента выполняла ещё и водка (которая во многих ситуациях ценилась даже выше денег). И счёт она тоже любила. Во всяком случае, любители математики знают два красивых водочных соотношения.

Приближённое извлечение корней (способ Герона)

Раньше в школах, наряду со сложением-вычитанием и умножением-делением, учили выполнять “в столбик” извлечение корня (так называемый “ньютоновский способ”, он описан в трактате “Всеобщая арифметика”). Потом перестали, оставив сие действие на откуп сначала таблицам Брадиса и логарифмическим линейкам, а потом калькуляторам.

А ведь уметь извлекать корни без вычислительных средств — умение нелишнее! Допустим, ньютоновский способ довольно трудоёмок… но вот есть простые и неплохие способы Герона, которым скоро исполнится две тысячи лет.