Множество

Особенность любой формальной науки, и математики в том числе, заключается в том, что теория развивается из набора аксиом, принимаемых без доказательства. Аксиомы должны формулироваться в терминах, неизбежно принимаемых за очевидные — и, следовательно, не подлежащих определению.

В основании же математики лежит понятие множества. Которое авторы абсолютного большинства учебников всё же пытаются определять, как это ни парадоксально. (Хотя, в конце концов, Эвклид тоже открыл первую книгу “Начал” загадочными словами “Точка есть то, что не имеет частей. Линия же — длина без ширины…” не столько определяя понятия, сколько называя их для ученика.)

Курсы, предназначенные для нематематиков, обычно приводят описание примерно следующего типа:

Множество есть неупорядоченная совокупность элементов произвольной природы.

В принципе оно неплохо справляется со своей задачей. К нему трудно что-то добавить, однако немногие знают, что восходит оно к великому чешскому математику Бернарду Больцано. Вот цитата из его “Учения о науке”, §84:

Мы говорим о куче денег, что нам безразлично, в каком порядке друг к другу лежат отдельные монеты, из которых она состоит. Такое обычное словоупотребление совокупности я называю множеством и при этом, конечно, думаю о числе его частей. Однако это ограничение не всегда нужно использовать. Я позволю себе назвать, следовательно, любую совокупность, относительно которой вид соединения её частей рассматривается как безразличный, множеством, даже если этих частей всего две.

Примечательно, что Больцано считал множества начинающимися как минимум с двух элементов! Он не признавал ординальными числами единицу и ноль, о чём уже говорилось. Простительное заблуждение для начала XIX века, когда теории множеств ещё не было — собственно, во многом благодаря трудам Больцано и оказалось возможным её возникновение…

Нетрудно видеть, что оба вышеприведённых описания сводятся к отсылке от слова “множества” к слову “совокупность”. Собственно, этим грешат практически все подобные рассуждения, и об этом замечательно говорится в великолепном курсе А.Колмогорова и С.Фомина “Элементы теории функций и функционального анализа”:

Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова “множество” его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.п.

Справедливости ради нужно отметить, что дать такое определение всё же удалось видному немецкому математику и физику Герману Вейлю в статье “Континуум”:

Каждому первичному или производному свойству Е соответствует некоторое множество Е. Выражения “предмет а обладает свойством Е” (соответствующая схема рассуждений Е(х) истинна при х=а) и “а есть элемент множества Е” равнозначны.

Правда, Вейль всё же свёл понятие множества к понятию “свойство”, которое в свою очередь полагал не требующим определения. Но здесь винить его нельзя: он не столько определял термин, сколько подчёркивал переворот, совершённый теорией множеств во взглядах на этот термин. Вот как он развивал эту мысль в другой своей работе “Современное состояние проблемы познания в математике”:

Согласно определению, данному Дедекиндом и Кантором, множество вовсе не возникает в результате объединения его элементов одного за другим в некоторую совокупность. Нет. Например, множество чисел считается заданным, если на основании его определения относительно каждого числа можно однозначным образом установить, принадлежит ли оно к этому множеству или нет. Определить бесконечное множество можно единственно лишь установив характерное для всех его элементов свойство.

Трудно спорить, ибо такой взгляд в своё время действительно совершил самую настоящую революцию… правда, породив и новые проблемы (см. например здесь и здесь).

Но всех переплюнул французский математик Эмиль Борель, который многие свои курсы и книги начинал со следующего довольно экстремистского определения:

Каждый сам знает, чтó ему дóлжно понимать под множеством!

Самое смешное, что он был совершенно прав.