3 апреля 2012 г.

Бесконечность: от Галилея до…

Бесконечные множества обладают рядом совершенно мозголомных свойств, которые вытекают из совершенно очевидных, казалось бы, представлений. Ярчайшим примером является аксиома выбора, но и без неё неожиданностей более чем много.

На один из таких парадоксов обратил внимание ещё Г.Галилей (1564 — 1642), описавший его в своей книге “Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки” (1638). По обычаям того времени, трактат этот написан в форме диалога, один из собеседников которого (Сальвиати) представляет самогó автора.

Сальвиати: Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио: Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом, числа 4,9 и т.д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати: Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т.е. перемножаемые числа, носят названия сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведением двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь если я скажу, что количество всех чисел вместе — квадратов и неквадратов — больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным, не так ли?

Симпличио: Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати: Если я теперь спрошу вас, сколько квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень, и каждый корень свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня, и ни один корень более одного квадрата.

Симпличио: Совершенно верно.

Сальвиати: Но если я спрошу далее, сколько корней, то вы не станете отрицать, что их столько, сколько всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел, так как столько же корней, а корнями являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что всех чисел больше чем квадратов, так как бóльшая часть их не квадраты… В отношении бесконечного числа, если бы мы только могли постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел!

Саградо: Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого затруднения?

Сальвиати: Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что поскольку бесконечно много чисел вообще, бесконечно много квадратов, бесконечно много корней, то ни множество квадратов не меньше множества всех чисел, ни последнее не больше первого; в конечном выводе — свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идёт о бесконечности, и применимы только к конечным числам.

Если подытожить эти пространные рассуждения, то Галилей обосновал: хотя натуральные числа, являющиеся точными квадратами, являются подмножеством всех натуральных чисел, тех и других парадоксальным образом получается одинаково много.

Этому парадоксу было предложено то объяснение, что бесконечности вроде бы принципиально нельзя сравнивать между собой.

Примерно триста лет понадобилось, чтобы изменить взгляды на этот довольно примитивный вывод. Сделать это удалось чешскому математику Бернарду Больцано в работе, которую он так и назвал — “Парадоксы бесконечного” (опубликована в 1851).

Больцано обобщил пример, приведённый Галилеем для одного конкретного случая:

Я утверждаю: два бесконечных многообразия могут быть в таком отношении одно к другому, что, с одной стороны, возможно соединить каждую вещь одного многообразия с некоторой вещью другого в пару таким образом, что не останется в обоих многообразиях ни одной вещи, не соединённой в пару, и ни одна вещь не будет входить в две или несколько пар. С другой стороны, возможно при этом, что одно из этих многообразий заключает в себе другое просто как часть.

Это утверждение, хотя и не содержало в себе ничего принципиально нового, оказалось первым в истории математики строгим определением взаимно однозначного отображения двух множеств! Главная же идея Больцано описывается следующими словами:

Уже само понятие исчисления бесконечности, я признаю это, кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить — значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т.е. такое многообразие, которое больше всякого числа и которое поэтому не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самогó в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим.

Эти отношения Больцано определял пока довольно наивно: у него ещё не хватало воображения признать бесконечные множества с существующим между ними взаимно однозначным отображением равномощными — т.е. содержащими равное количество элементов.

Лишь около тридцати лет спустя на такой шаг — вопреки всем известным и новым парадоксам — решился Георг Кантор, создавший стройную теорию множеств. А его современник и соотечественник Рихард Дедекинд возвёл рассуждения Больцано в ранг определения бесконечного множества:

Множество называется бесконечным, если для него имеется взаимно однозначное отображение на некоторое его подмножество, с которым оно само не совпадает. 

Что же касается сравнения бесконечно больших и бесконечно малых величин (не множеств), то здесь современные средства анализа были разработаны другими немецкими математиками Паулем Бахманом и Эдмундом Ландау на рубеже XIX—ХХ веков. Они активно используются по сей день.

Комментариев нет:

Отправить комментарий